紫微背杜甫诗的意思是：为了让皇帝记住杜甫的诗，紫微在皇帝面前背诵杜甫的诗。
典故出处：唐·李商隐《紫薇花》：“凌寒独自开，偏爱晚妆迟。忆昨承恩日，吹香暖翠墀。王孙归去楚，客子尚羁夷。幸有澄泥滓，虚堂背杜诗。”
白话译文：凌寒独自开放，特别喜欢在暮色中姗姗来迟。忆起昨日承蒙爱恩，在玉砌金阶吹着香气沐浴在翠色中。王孙已经回楚地，客人还在此地寄居。幸亏有澄清的泥土，杜甫的诗句还在空堂中回响。
在唐朝，杜甫的诗歌流传很广，当时的人们都很喜欢他的诗歌。据说，唐玄宗的宠妃杨贵妃也很喜欢杜甫的诗歌，她经常让紫薇在她面前背诵杜甫的诗歌。有一次，唐玄宗在宫中宴请群臣，杨贵妃就让紫薇在唐玄宗面前背诵杜甫的诗歌《丽人行》，唐玄宗听得非常高兴，就赏赐了紫微很多东西。
从这个典故中可以看出，杜甫的诗歌在当时流传很广，很受人们的喜爱。